RELATII METRICE IN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC

 Relatii metrice in tringhiul dreptunghic

Învaţă să vezi mai departe decât pot ajunge privirile tale.

Proiectii ortogonale pe o dreapta

Proiectia unui punct pe o dreapta se obtine ducand perpendiculara din acel punct pe dreapta data. Proiectia unui punct pe o dreapta este tot un punct si reprezinta piciorul perpendicularei coborata din acel punct pe dreapta.

Punctul P este proiectia punctului M pe dreapta d .

Proiectia unui segment pe o dreapta se obtine coborand perpendiculare din marginile segmentului pe dreapta data.

Segmentul [CD] este proiectia segmentului [AB] pe dreapta d  

 Segmentele [AB] si [CD] sunt congruente.

Teorema inaltimii

Intr-un triunghi dreptunghic, lungimea inaltimii corespunzatoare ipotenuzei este media geometrica a lungimilor proiectiilor catetelor pe ipotenuza.

A doua teorema a inaltimii: Lungimea inaltimii din varful unghiului drept este egala cu raportul dintre produsul lungimilor catetelor si lungimea ipotenuzei.

Teorema catetei

Intr-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este media geometrica intre lungimea ipotenuzei si lungimea proiectiei acesteia pe ipotenuza.

Segmentul [CD] este proiectia catetei AC pe ipotenuza BC
Segmentul [DB] este proiectia catetei AB pe ipotenuza BC 

Teorema lui Pitagora

Intr-un triunghi dreptunghic, patratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma patratelor lungimilor catetelor.

Teorema lui Pitagora este una dintre cele mai cunoscute teoreme din geometria euclidiană, constituind o relație între cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic. Teorema lui Pitagora afirmă că în orice triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei (latura opusă unghiului drept). Teorema poate fi scrisă sub forma unei relații între cele trei laturi a, b și c, câteodată denumită relația lui Pitagora:

unde c reprezintă lungimea ipotenuzei, iar a și b lungimile celorlalte două laturi ale triunghiului.

Deși este în discuție faptul că teorema putea fi cunoscută dinaintea lui,  aceasta a fost totuși denumită după matematicianul din Grecia Antică, Pitagora (cca. 570 – cca. 495 î.Hr.) din moment ce el este cel care, în mod tradițional, a fost recunoscut pentru prima demonstrație a sa.  Există unele dovezi cum că matematicienii babilonieni ar fi înțeles formula, dar foarte puține indică o aplicație într-un cadru de lucru matematic. Matematicienii din Mesopotamia , India și China au descoperit teorema independent și, în unele cazuri, au oferit demonstrații în cazuri speciale.

Această teoremă a primit numeroase demonstrații – probabil cele mai multe dintre toate teoremele din matematică. Acestea sunt foarte diversificate, incluzând dovezi atât geometrice cât și algebrice, cele mai vechi datând de acum mii de ani.

Teorema reciproca a teoremei lui Pitagora

Daca intr-un triunghi patratul lungimii unei laturi este egal cu suma patratelor lungimilor celerlalte doua laturi, atunci triunghiul este dreptunghic.

Daca  

atunci triunghiul ABC este dreptunghic in A.

Pitagora a fost un filozof și matematician grec, originar din insula Samos, întemeietorul pitagorismului, care punea la baza întregii realități teoria numerelor şi a armoniei. A fost și conducătorul partidului aristocratic din Crotone, Italia de Sud. Scrierile sale nu s-au păstrat. Tradiția îi atribuie descoperirea teoremei geometrice și a tablei de înmulțire, care îi poartă numele. Ideile și descoperirile lui nu pot fi deosebite cu certitudine de cele ale discipolilor apropiați.

Pitagora a fost un mare educator și învățător al spiritului grecesc, cât şi un atlet puternic. A întemeiat şcoala ce-i poartă numele.

Pitagora pare să nu fi scris nimic. Doctrina filosofică a pitagorismului ne este totuși destul de bine cunoscută din lucrările lui Aristotel și Sextus Empiricus, precum și din lucrări ale pitagoricienilor de mai târziu. Totuși, nu se poate stabili cu precizie ce aparține lui Pitagora și ce au adăugat pitagoricienii ulteriori. Celebrele texte "pitagoriciene" "Versurile de aur" ale lui Pitagora şi "Legile morale şi politice" ale lui Pitagora, existente și în traduceri românești, aparțin unei epoci ulterioare